Umzug mit Kind mit eigenem Einkommen

Hallo zusammen,
meine Mutter, die aufstockend Bürgergeld bezieht, wohnt mit meinem Bruder zusammen in einer Wohnung. Er hat allerdings einen Job und bezieht kein Bürgergeld. Er unterstützt sie nicht und kommt selbst für seine Kosten und sein Leben auf. Jetzt möchten sie gerne umziehen und die neue Bleibe kostet bei einer 50:50 Regelung zu viel, um komplett übernommen zu werden. Mein Bruder ist allerdings bereit, den Anteil zu bezahlen, der nicht mehr vom Amt übernommen wird. Wie verhält sich das dann beim Antrag auf Umzug? Wir hatten diesen Fall noch nie, daher wissen wir nicht wie das „funktioniert“ bzw. was gemacht werden muss. Woanders riet uns jemand davon ab, da sonst davon ausgegangen wird, dass mein Bruder sie auch finanziell unterstützt. Ist das so? Kennt sich jemand mit so einem Fall aus?