Bevor du dem Jobcenter irgendetwas mitteilst, warte doch erstmal ab.
Das Problem ist nämlich, dass du nur maximal so hohe Kosten der Unterkunft bekommst, wie bisher. Solange also noch nicht klar ist, wie hoch deine Kosten sein werden, solltest du abwarten.
Weiterhin gebe ich zu bedenken, dass zukünftige Nebenkostennachforderungen allenfalls bis zur Höhe der jetzigen Kosten der Unterkunft gezahlt werden.
Wenn du sofort umziehst, führt das außerdem dazu, dass nur für eine Wohnung Miete gezahlt wird. Da du eine Kündigungsfrist hast, wird das also zu Problemen führen.
Du erhältst, bei einem nicht notwendigen Umzug, auch keine Umzugskosten. Sollte das Jobcenter aber die Notwendigkeit feststellen, erhältst du Umzugskosten.
Was sind deine Beweggründe fürs Umziehen? Die Kosten? Immerhin zahlt das Jobcenter diese bisher ohne Schwierigkeiten.