NEIN!
Du hast es nicht verstanden. Der Tag, an dem du umziehst, ist der letzte Tag an dem du vom alten Jobcenter Geld kriegst. Ziehst du am 20. um, kriegst du nur bis zum 20. Geld und das Jobcenter wird das bereits ausgezahlt Geld vom 21 bis 31. zurückfordern!
Du bekommst dann auch kein Geld für August vom alten Jobcenter! Du wohnst ja nicht mehr dort. Warum sollten die dir Geld zahlen?
Du kriegst auch für August keine Miete gezahlt für deine ehemalige Wohnung! Weder vom alten noch vom neuen Jobcenter!