Ich denke das Problem und die Ablehnung liegt darin, dass beim KIZ immer das Einkommen der letzten 6 Monate betrachtet wird. Und wenn ich das richtig verstanden habe, hast Du den Vollzeit Job erst ab März und hast ab April den Antrag auf KIZ gestellt. Wovon hast Du vor den Vollzeit Job gelebt? Von ALG II?
Jetzt könntest Du einen Anspruch auf KIZ tatsächlich haben, da Du in den letzten 6 Monaten Einkommen hattest.
Und wie Tamar schon schrieb, umgehend einen Antrag auf ALG II stellen und den Ablehnungsbescheid der Familienkasse direkt beifügen.