Stell einen "Überprüfungsantrag" nach § 44 SGB X.
Schreib dem Jobcenter, dass Du um Überprüfung der Bewilligung Deiner Kosten der Unterkunft für die Zeit ab 01.01.2023 bittest, weil Du wegen der Arbeit für die Post 4 Monate nicht im Leistungsbezug beim Jobcenter warst und danach die Regelung des § 22 Absatz 1 Satz 6 SGB II nicht mehr gilt.
Als Urteil kannst Du "Bundessozialgericht, Urteil vom 09.04.2014 - B 14 AS 23/13 R" angeben. Damit wird die Widerspruchsstelle nachvollziehen können, worum es geht.
Falls das dann abgelehnt werden sollte, legst Du Widerspruch ein. Falls der Widerspruch abgelehnt werden sollte.
Zum besseren Verständnis: Es ist keine komplett sichere Sache. Der Teufel könnte hier immer noch im Detail stecken, es gibt aber bisher kein Anzeichen dafür. Ob es etwas wird, kannst Du nur herausfinden, wenn Du es versuchst.
Spätestens Du einen Widerspruchsbescheid erhälst, in dem die Erhöhung abgelehnt wird, muss dann auch ausführlich drin stehen, womit das begründet wird. Dann kann man die Begründung näher prüfen, ob sie richtig sein könnte oder nicht.