Kosten der Unterkunft richten sich nach § 22 SGB II und werden LAUFEND erbracht,
Die Erstausstattung der Wohnung ist eine einmalige Beihilfe und richtet sich nach § 24 Abs. 3 SGB II.
Beide sind unabhängig voneinander.
Bester Weg: Unbedingt Widerspruch einlegen und gleichzeitig eine einstweilige Anordnung nach § 86b SGG beantragen. Mancher kann es alleine, aber ein Anwalt ist immer besser.
Kleiner Tip zur Erstausstattung: Selber das Jugendamt einschalten und um Unterstützung fragen , da Kinder Betten und Schränke brauchen und auch auf ein warmes Essen (Küche) nicht verzichten können. Habe ähnlicher Verfahren für andere schon mehrfach geführt und gewonnen.