Solange der Mietvertrag besteht und nicht von allen Parteien gekündigt wurde, ist er der Zahlung verpflichtet. Daher musst du erstmal dafür Sorge tragen, dass die anteiligen Mitschulden durch den WG Partner beglichen werden. Ein einfaches Ausziehen reicht dafür nicht aus.
Da die Zusicherung nur für die Hälfte der Wohnkosten bestand, ist dies auch abschließend mit dem Jobcenter zu besprechen. Hierbei sind die individuellen tatsächlichen Kosten nach dem Konzept der jeweiligen Stadt maßgebend. Eine Auskunft hierzu kann dir auch das Jobcenter geben. Da tatsächlich kein Umzug oder Selbstverschulden vorliegt, würde ich dies auch so anführen.